2.5 Cálculo de Newton del número p
Aparece en su "Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum," 1671. Newton considera la circunferencia de centro (1/2,0) y radio 1/2
de donde despejando y en función de x y usando el desarrollo del binomio
| y=x1/2(1-x)1/2=x1/2 | ( | 1- | x
2 | - | x2
8 | - | x3
16 | - | 5
128 | x4- | 7
256 | x5-  | ) | = |
|
| = x1/2- | 1
2 | x3/2- | 1
8 | x5/2- | 5
128 | x9/2- | 7
256 | x11/2- |
|
Calcula entonces el área debajo de la curva integrando término a término
| A(x)= | 2
3 | x3/2- | 1
5 | x5/2- | 1
28 | x7/2- | 1
72 | x9/2- | 5
704 | x11/2- |
|
Luego para x=1/4, el área de la región ADB es igual a
| área (ADB)= | 1
12 | - | 1
160 | - | 1
3584 | - | 1
36864 | - | 5
1441792 | - = 0.076663 |
|
Calcula luego la misma área por geometría, ya que
| área (ADB)= área(sectorACD)-área(triánguloDBC) |
|
Para evaluar esta última relación calcula primero
Luego se observa de los lados del triángulo BCD que el ángulo en C es de 60
o. De donde
| área(sectorACD)= | 1
3 | área(semicircunferencia) |  | | |
|
Mientras que
Por tanto
Igualando los dos valores encontrados anteriormente para esta área resulta
y por consiguiente
valor que aquí hemos calculado correcto hasta cuatro decimales (el error es 1.33
x10
-5). Newton de hecho usa 20 términos del binomio para llegar a calcular
p con 16 decimales correctos.
